3eme Math | math | Devoir De Contrôle N°2 (2019/2020)

Sfax

Lycée Tayeb M’hirir

3eme Math

Devoir de Contrôle N°2

Exercice n°1

1

Soit la fonction f définie sur R par f(x)=-x³+3x-2 et C_f sa courbe dans un repère orthogonal (O,i,j) du plan

a) Montrer que le point I (0,-2) est un centre de symétrie

b) Etudier les variations de f

c) Donner une équation de la tangente T à C_f  et étudier la position de C_f  par  rapport à T

d) Tracer T et C_f

e) Calculer f(1) et f(-2) et déduire le signe de f

2
Soit la fonction g définie sur R par g(x)=1/4 x⁴ - 3/2 x² +2x-2      C_g sa courbe dans un repère orthogonal (O,i,j) du plan

Etudier les variations de g et déduire son minimum

3
Soit h la fonction définie sur R par f(x)=x²+2x et C_h sa courbe dans un repère orthogonal (O,i,j) du plan

a)Tracer C_h

b) Soit Δ_k : y=3x+k-1, k ∈R Etudier suivant k le nombre de points d’intersection de Δ_k et C_h

c) On donne le point F(-1, - 3/4) et la droite D : y= -5/4 et E={M(x,y)/MF=MH} où H est le projeté orthogonal de M sur D. Montrer que E= C_h 

4
Soit la fonction φ définie sur R par φ=f(x), x < 2 et φ= h(x),x ≥ 2

a) Etudier la dérivabilité de  φ en -2

b) Donner le tableau de variation de φ puis tracer C φ

Exercice n°2

Dans un plan orienté, on donne un triangle ABC isocèle en A tel que (AB^AC) ≡ 2π/3 [2π]

1
Soit E un point de [AB] et F un point de [AC] tel que AF=BE

a) Montrer qu’il existe une et une seul rotation qui transforme A en B et F en E  

b) Montrer que π/3 est l’angle de cette rotation

c) Montrer que le centre de rotation R est le point O centre du cercle (Ω) circonscrit au triangle ABC

d) déduire R(C)

2
Soit R(B)=D Montrer que (DC^DA) ≡ π/6  [2 π]

On désigne par R₁ la rotation réciproque de R, P=S_A (B) et Q=R₁(P)

a) Montrer que C est le milieu de [AQ]

b) Montrer alors que le triangle AOQ est rectangle en O

3
soit  C le cercle de diamètre [AQ] et  C ’ son image par R

a) Montrer que P est un point de C

b) Déterminer et construire  C ’

Exercice n°3

Dans le plan complexe P muni d’un repère direct (O,u,v) on donne les points 

A(-i) ;B(1+i) et C(1-2i)

Soit f l’ application définie par f : P\{A}à P

                                                            M(Z)àM’(Z’) tel que Z’=(iZ+1-i)/(z+1)

1
a) Déterminer Z_D  tel que D=S_O(A)

b)Déterminer Z_C’ du point C’=f(C) . Donner sa forme trigonométrique

2
 Déterminer les ensembles suivante 

E={M(Z) ∈ P /|Z’|=1}
F={M(Z) ∈ P /Z’ ∈ iR}

3
a)montrer que pour tout Z ∈ C \{i} ona : (Z’-i)(Z+i)=2-i

b) Déduire que DM’.AM= √5

c) Montrer que si M varie sur le cercle de centre A et de rayon √5 alors M’ varie sur un cercle que l’on précisera

4
a) Montrer que pour tout Z ∈ C \{i} : Arg(Z’) ≡ π/2+ (MA^MB) [2 π ]

b) Déduire l’ensemble G des pointe tel que Arg(Z’) ≡ π/2 [2 π ]

5
a) Soit B’ le symétrie de B par rapport à (O,u). Déterminer Z_B’

b) Déterminer le plus entier naturel non nul tel que [(√3/2+i/2 )/Z_B’]ⁿ soit réel