Correction Activité 6 Page 135
1- Pour que 8/(n-3) soit un entier naturel, il faut que n-3 soit un diviseur de 8. Les diviseurs de 8 sont 1, 2, 4, et 8, donc les valeurs possibles pour n sont 4, 5, 7, et 11.
2- Pour que 24/n et n/6 soient des entiers naturels, il faut que n soit un multiple commun de 24 et 6. Le plus petit multiple commun de 24 et 6 est 24, donc les valeurs possibles pour n sont les multiples de 24, c'est-à-dire 24, 48, 72, etc.
3- Pour que 20+n/20 soit un entier naturel, il faut que n soit un multiple de 20. Les multiples de 20 sont 20, 40, 60, etc. donc les valeurs possibles pour n sont les entiers de la forme 20k où k est un entier naturel.
4- Pour que (n+7)/(n-1) soit un entier naturel, il faut que n-1 divise n+7 avec un reste de 0. En utilisant la division euclidienne, on peut écrire n+7 = (n-1)q + r, où q est un entier naturel et r est le reste de la division de n+7 par n-1. On cherche à résoudre cette équation pour n, donc on peut la réécrire comme n = (r+7)/(1-q). Comme n doit être un entier naturel, cela implique que 1-q divise r+7. Ainsi, les valeurs possibles pour n sont toutes les valeurs pour lesquelles il existe un q et un r tels que n = (r+7)/(1-q) et 1-q divise r+7.
5- Pour que (2n+6)/(n-1) soit un entier naturel, il faut que n-1 divise 2n+6 avec un reste de 0. En utilisant la division euclidienne, on peut écrire 2n+6 = (n-1)q + r, où q est un entier naturel et r est le reste de la division de 2n+6 par n-1. On cherche à résoudre cette équation pour n, donc on peut la réécrire comme n = (r+6)/(1-q) + 1. Comme n doit être un entier naturel, cela implique que 1-q divise r+6. Ainsi, les valeurs possibles pour n sont toutes les valeurs pour lesquelles il existe un q et un r tels que n = (r+6)/(1-q) + 1 et 1-q divise r+6.
Pour résoudre l'équation {2n + 6}/{n - 1}, nous devons nous assurer que l'expression est un entier naturel.
RépondreSupprimer1. **Simplifions l'expression :**
\[
\frac{2n + 6}{n - 1} = \frac{2(n + 3)}{n - 1}
\]
2. **Définissons la condition pour que ce soit un entier :**
Cela signifie que \(n - 1\) doit diviser \(2(n + 3)\).
3. **Posons \(k = n - 1\) donc \(n = k + 1\). L'expression devient :**
\[
\frac{2((k + 1) + 3)}{k} = \frac{2(k + 4)}{k} = 2 + \frac{8}{k}
\]
4. **Pour que \(\frac{8}{k}\) soit un entier, \(k\) doit diviser 8. Les diviseurs de 8 sont :**
\[
k \in \{1, 2, 4, 8\}
\]
5. **Retrouvons les valeurs de \(n\) correspondantes :**
- Si \(k = 1\), \(n = 1 + 1 = 2\)
- Si \(k = 2\), \(n = 2 + 1 = 3\)
- Si \(k = 4\), \(n = 4 + 1 = 5\)
- Si \(k = 8\), \(n = 8 + 1 = 9\)
6. **Conclusion :**
Les valeurs de \(n\) pour lesquelles \(\frac{2n + 6}{n - 1}\) est un entier naturel sont \(n = 2, 3, 5, 9\).