Correction Activité 13 Page 12 - Math Tome 2 - 2éme

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a) Pour calculer le coût total de creusement d'un puits de 15 mètres de profondeur, nous devons calculer la somme des coûts des 15 premiers mètres. Nous avons une séquence arithmétique de premier terme 50 et de raison 10 (chaque mètre coûte 10 dinars de plus que le précédent). Ainsi, la somme des n premiers termes d'une séquence arithmétique est donnée par la formule : S_n = n/2 * (a_1 + a_n) où a_1 est le premier terme, a_n est le n-ème terme et n est le nombre total de termes. En substituant les valeurs, nous avons :
S_15 = 15/2 * (50 + a_15)
Le quinzième terme est donné par la formule de la séquence arithmétique a_n = a_1 + (n-1)*d, où d est la raison. Ainsi :
a_15 = 50 + (15-1)*10 = 240
En remplaçant dans la formule précédente, nous avons :
S_15 = 15/2 * (50 + 240) = 15/2 * 290 = 2175
Ainsi, le coût total de creusement d'un puits de 15 mètres de profondeur est de 2175 dinars.
b) Pour déterminer la profondeur maximale atteignable avec un budget de 1000 dinars, nous devons trouver le plus grand entier n tel que le coût total de creusement des n premiers mètres soit inférieur ou égal à 1000 dinars. Nous pouvons utiliser la même formule que précédemment pour calculer le coût total de creusement des n premiers mètres :
S_n = n/2 * (50 + a_n)
En utilisant la formule de la séquence arithmétique pour a_n, nous avons :
S_n = n/2 * (50 + 50 + (n-1)10) = n/2 * (100 + 10(n-1)) = 5n^2 + 45n
Nous devons résoudre l'inéquation 5n^2 + 45n ≤ 1000. En réarrangeant et en factorisant, nous avons :
5n^2 + 45n - 1000 ≤ 0 (n - 5)(5n + 200) ≤ 0
La solution de cette inéquation est donnée par l'intervalle [5, -40]. Cependant, nous devons garder uniquement la solution positive, c'est-à-dire n ≥ 0. Ainsi, la profondeur maximale atteignable avec un budget de 1000 dinars est le plus grand entier n tel que 5n^2 + 45n ≤ 1000 et n ≥ 0. En résolvant l'inéquation, nous avons n ≤ 8.37. Ainsi, la profondeur maximale atteignable avec un budget de 1000 dinars est de 8 mètres.