Correction Activité 15 Page 12 - Math Tome 2 - 2éme

 Correction Activité 15 Page 12

1)

a) En écrivant S = 100 + 99 + …+ 2 + 1, on peut écrire 2S comme la somme de deux suites identiques :

2S = (1 + 2 + …+ 99 + 100) + (100 + 99 + …+ 2 + 1)
En regroupant les termes correspondants, nous avons :
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + …+ (50 + 51) + (51 + 50) + …+ (99 + 2) + (100 + 1)
Chaque paire de termes dans la liste est égale à 101, donc :
2S = 101 + 101 + …+ 101 + 101
où il y a 50 paires de 101. Ainsi :
2S = 50 x 101 x 2
2S = 10100
Finalement :
S = 2S/2 = 5050
Donc, la somme des entiers de 1 à 100 est égale à 5050.
b) Pour trouver la somme de 500 + 501 + …+ 1999 + 2000, nous pouvons remarquer que chaque terme est égal à la somme de 500 et un nombre entier compris entre 0 et 1500. Ainsi, nous avons :
500 + 501 + …+ 1999 + 2000 = (500 + 0) + (500 + 1) + …+ (500 + 1500)
= 1501 x 500
= 750500
Donc, la somme de 500 + 501 + …+ 1999 + 2000 est égale à 750500.En additionnant les deux expressions de S, nous avons :
2S = (a + b) + (a + b) + …+ (a + b) + (a + b)
où il y a n termes. Ainsi :
2S = n (a + b)
Et donc :
S = n/2 (a + b)
Nous avons donc trouvé la formule pour la somme S des n termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison r, en fonction de a, b et n.