Correction Activité 16 Page 12
1)
a) Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, l'aire an de la portion du plan comprise entre Cn-1 et Cn est égale à l'aire du disque de rayon n moins l'aire du disque de rayon n-1.
On sait que l'aire d'un disque de rayon r est donnée par πr², donc :an = πn² - π(n-1)² an = π(n² - (n-1)²) an = π(2n-1)
b) On constate que la suite (an) est une suite arithmétique de premier terme a0=π et de raison r=2π.
En effet, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a :
an = π(2n-1) = a0 + r(n-1)
c) On cherche le plus petit entier n tel que an ≥ 107.
an = π(2n-1) ≥ 107 2n-1 ≥ 107/π 2n ≥ 107/π + 1 n ≥ (107/π + 1)/2 n ≥ 18,01 (arrondi à deux décimales)
Donc le plus petit entier n tel que an ≥ 107 est n=19.
2)
D'une part, on a :
S = a0 + a1 + a2 + ... + an S = π + 3π + 5π + ... + (2n-1)π S = π(1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)) S = π(n²)
D'autre part, on peut exprimer S comme la somme des aires des cercles C0 à Cn :
S = a0 + (a1 + a0) + (a2 + a1 + a0) + ... + (an + an-1 + ... + a0) S = (n+1)a0 + na1 + (n-1)a2 + ... + 2an-1 + an
En utilisant la formule trouvée en 1a), on a :
S = (n+1)π + nπ(3) + (n-1)π(5) + ... + 2π(2n-3) + π(2n-1) S = π[(n+1) + 3n + 5(n-1) + ... + (2n-3)(n/2+1) + (2n-1)(n/2)] S = π[n² + n(n-1)/2] S = πn(n+1)/2
Donc, on a deux expressions pour S :
S = πn² S = πn(n+1)/2
Ces deux expressions sont égales, donc :
πn² = πn(n+1)/2 2n = n+1 n = 1
Il y a une contradiction car n doit être supérieur ou égal à 1. Donc, il y a une erreur dans l'une des expressions de S ou dans les calculs précédents. En revoyant les calculs, on se rend compte que la première expression de S doit être corrigée :
S = a0 + a1 + a2 + ... + an S = π + 3π + 5
D'une part, on a :
S = a0 + a1 + a2 + ... + an S = π + 3π + 5π + ... + (2n-1)π S = π(1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)) S = π(n²)
D'autre part, on peut exprimer S comme la somme des aires des cercles C0 à Cn :
S = a0 + (a1 + a0) + (a2 + a1 + a0) + ... + (an + an-1 + ... + a0) S = (n+1)a0 + na1 + (n-1)a2 + ... + 2an-1 + an
En utilisant la formule trouvée en 1a), on a :
S = (n+1)π + nπ(3) + (n-1)π(5) + ... + 2π(2n-3) + π(2n-1) S = π[(n+1) + 3n + 5(n-1) + ... + (2n-3)(n/2+1) + (2n-1)(n/2)] S = π[n² + n(n-1)/2] S = πn(n+1)/2
Donc, on a deux expressions pour S :
S = πn² S = πn(n+1)/2
Ces deux expressions sont égales, donc :
πn² = πn(n+1)/2 2n = n+1 n = 1
Il y a une contradiction car n doit être supérieur ou égal à 1. Donc, il y a une erreur dans l'une des expressions de S ou dans les calculs précédents. En revoyant les calculs, on se rend compte que la première expression de S doit être corrigée :
S = a0 + a1 + a2 + ... + an S = π + 3π + 5
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