Correction Exercice 10 Page 18 - Maîtriser- Math Tome 2 - 2éme

 Correction Activité 10 Page 18

a) Pour trouver la somme des économies au bout de huit mois, nous avons besoin de calculer la somme des huit premiers termes de la suite arithmétique. La formule de la somme d'une suite arithmétique est :

S_n = (n/2)(a_1 + a_n)
où S_n est la somme des n premiers termes, a_1 est le premier terme et a_n est le n-ième terme.
Dans ce cas, n = 8, a_1 = 10 et la différence entre les termes est d = 5. Nous pouvons donc calculer la somme comme suit :
S_8 = (8/2)(10 + a_8) = 4(10 + 10 + 5 × 7) = 4(40 + 35) = 4 × 75 = 300
Elle a économisé 300 dinars au bout de huit mois.
b) Nous devons trouver le mois pour lequel la somme des économies est égale ou supérieure à 205 dinars. Nous pouvons utiliser la même formule de la somme d'une suite arithmétique, mais cette fois nous cherchons n, le nombre de mois nécessaires pour atteindre la somme de 205 dinars. Nous avons donc :
205 ≤ (n/2)(10 + 10 + 5(n-1))
205 ≤ (n/2)(5n + 10)
41 ≤ n^2 + 2n
n^2 + 2n - 41 ≥ 0
Nous pouvons résoudre cette équation quadratique en utilisant la formule générale :
n = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
où a = 1, b = 2 et c = -41. Nous obtenons :
n = (-2 ± √(2^2 - 4 × 1 × (-41))) / 2 n = (-2 ± √(172)) / 2 n ≈ 6.3 ou n ≈ -8.3
Le nombre de mois doit être positif, donc nous pouvons arrondir n à la valeur entière supérieure, soit n = 7. Cela signifie que les économies suffiront pour acheter un aspirateur à la fin du septième mois. Vérifions que la somme des économies est bien supérieure ou égale à 205 dinars à la fin du septième mois :
S_7 = (7/2)(10 + a_7) = 3.5(10 + 10 + 5 × 6) = 3.5 × 60 = 210
Effectivement, les économies sont supérieures à 205 dinars à la fin du septième mois.