Correction Activité 2 Une spirale quadratique Page 9
Dans cette figure, chaque triangle OAiAi+1 est rectangle en Ai+1 et isocèle en Ai. Puisque Ai+1 est le milieu de la base OAi, la hauteur est égale à la moitié de la base et la formule de l'aire d'un triangle peut être utilisée pour trouver les aires.
a) Pour i = 2, 3, 4, 5, nous avons:a2 = aire(OA2A3) = (1/2) * A2A3 * OA2 = (1/2) * 1 * 1 = 1/2
a3 = aire(OA3A4) = (1/2) * A3A4 * OA3 = (1/2) * 1 * 1/2 = 1/4
a4 = aire(OA4A5) = (1/2) * A4A5 * OA4 = (1/2) * 1 * 1/4 = 1/8
a5 = aire(OA5A6) = (1/2) * A5A6 * OA5 = (1/2) * 1 * 1/8 = 1/16
b) Pour trouver l'expression générale de an en fonction de n, on peut remarquer que chaque triangle OAiAi+1 est similaire à OAAi, qui est également un triangle isocèle rectangle en A. Donc, la hauteur du triangle OAiAi+1 est la moitié de la hauteur du triangle OAAi, qui est OA1 = 1. Par conséquent, pour tout i, la base A1Ai a pour longueur i et la hauteur est 1/2. Ainsi, l'aire de chaque triangle est donnée par:
ai = (1/2) * A1Ai * OA1 = (1/2) * i * 1 = i/2
Par conséquent, on conjecture que l'expression générale pour an est:
an = (n/2) * OA1^2 = n/2
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